Pappus 定理简介
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Pappus 定理的简介和应用介绍.
定理介绍
Pappus 定理又称 Pappus-Guldinus 定理，其包含两部分：表面积定理和体积定理：
表面积定理
\(\mathbf{Theorem}.\) 平面曲线绕其所在平面内，且不穿过曲线的一条轴旋转一圈生成曲面的表面积，等于曲线长度 \(L\) 乘上曲线质心移动的路程：
\[S = L \cdot 2 \pi r\]其中 \(r\) 为质心到旋转轴的距离，\(2 \pi r\) 即质心移动的路程.
体积定理
\(\mathbf{Theorem}.\) 平面区域绕其所在平面内，且不穿过平面区域的一条轴旋转一圈生成的体积，等于区域面积 \(A\) 乘以质心移动的路径：
\[V = A \cdot 2 \pi r\]其中 \(r\) 为质心到旋转轴的距离，\(2 \pi r\) 即质心移动的路程.
定理证明
表面积定理
\(\mathbf{Proof}.\) 设平面曲线 \(C\) 绕 \(x\) 轴旋转.
曲线上一小段弧长 \(\mathrm{d}s\) 旋转生成的环面积为 \(2\pi y \cdot ds\), 则总的表面积积分：
\[S = \int_C 2\pi y \, \mathrm{d}s = 2\pi \int_C y \, \mathrm{d}s\]曲线质心的 \(y\) 坐标为（\(L\) 为曲线长度）：
\[\bar{y} = \frac{1}{L} \int_C y \, \mathrm{d}s\]因此：
\[S = L \cdot 2\pi \bar{y}\]证毕，\(\square\)
体积定理
设平面区域 \(D\) 绕 \(x\) 轴旋转.
区域中一小块面积 \(\mathrm{d}A\) 旋转生成的体积为 \(2\pi y \cdot dA\), 则总的体积积分：
\[V = \int_D 2\pi y \, \mathrm{d}A = 2\pi \int_D y \, \mathrm{d}A\]区域质心的 \(y\) 坐标为（\(A\) 为区域面积）： \(\bar{y} = \frac{1}{A} \int_D y \, \mathrm{d}A\)
因此： \(V = A \cdot 2\pi \bar{y}\)
证毕，\(\square\)
应用举例
Pappus 常用来快速地求解质心位置，常常和对称性结合使用.
求解半圆弧质心
\(\mathbf{Question}.\) 求解一个匀质的半径为 \(R\) 半圆弧的质心位置.
\(\mathbf{Solve}.\) 首先我们将半圆弧的圆心放在原点，将直径与 \(x\) 轴重合，并将半圆弧放在 \(y\) 轴正半轴的区域.
显然，根据半圆弧的对称性，半圆弧的质心的 \(x\) 坐标为 \(0\). 设半圆弧的质心的 \(y\) 坐标为 \(y\)，半圆弧绕 \(x\) 轴旋转，旋转一圈质心运动的路程为 \(2 \pi y\)，旋转一圈形成一个球面，因此，根据 Pappus 定理，有：
\[S = 4 \pi R^2 = \pi R \cdot 2 \pi y\]解得：
\[y = \frac{2 R}{\pi}\]综上，我们可以得到半圆弧的质心的坐标为：\((0, \frac{2 R}{\pi})\)
求解半圆形薄板质心
\(\mathbf{Question}.\) 求解一个半径为 \(R\) 的匀质半圆形薄板的质心位置.
\(\mathbf{Solve}.\) 首先，我们半圆形薄板放在原点，将直径与 \(x\) 轴重合，并将半圆形薄板放在 \(y\) 轴正半轴的区域.
显然，根据半圆形薄板的对称性，半圆形薄板的质心的 \(x\) 坐标为 \(0\). 设半圆形薄板的质心的 \(y\) 坐标为 \(y\)，半圆形薄板绕 \(x\) 轴旋转，旋转一圈质心运动的路径为 \(2 \pi y\)，旋转一圈形成一个球体，因此，根据 Pappus 定理，有：
\[V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{1}{2} \pi R^2 \cdot 2 \pi y\]解得：
\[y = \frac{4R}{3\pi}\]综上，我们可以得到匀质半圆形薄板的质心位置为：\((0, \frac{4R}{3\pi})\)
求解匀质直角三角形薄板的质心
\(\mathbf{Question}.\) 求解一个两个直角边分别为 \(a\) 和 \(b\) 的匀质直角三角形薄板的质心位置.
\(\mathbf{Solve}.\) 首先，我们将直角三角形放在原点，并将其两个直角边放在 \(x\) 轴正半轴和 \(y\) 轴正半轴上. 不失一般性，我们将边长为 \(a\) 的边放在 \(x\) 轴正半轴上，将边长为 \(b\) 的边放在 \(y\) 轴正半轴上，即 \((0,0) - (a,0) - (0,b)\) 为所求要求质心的直角三角形.
设质心位置为 \((x,y)\)，让直角三角形绕 \(x\) 轴旋转，形成一个锥体，根据 Pappus 定理，有：
\[V = \frac{1}{3} \pi b^2 a = 2 \pi y \cdot \frac{1}{2} ab\]解得：
\[y = \frac{b}{3}\]同理，我们可以让三角形绕 \(y\) 轴旋转，同样形成一个锥体，根据 Pappus 定理，有:
\[V = \frac{1}{3} \pi a^2 b = 2 \pi x \cdot \frac{1}{2} ab\]解得：
\[x = \frac{a}{3}\]综上，我们可以得到质心的位置为：\((\frac{a}{3}, \frac{b}{3})\)
求解旋成体体积
Pappus 定理不单能用来求质心位置，有时我们还能用来简便地求解旋成体的体积.
\(\mathbf{Question}.\) 圆心为 \((R,0)\)，半径为 \(R\) 的圆盘绕 \(x\) 轴旋转，计算旋成体的体积.
\(\mathbf{Solve}.\) 圆盘的质心位置为 \((R,0)\)，旋转时质心走过的路径为 \(2 \pi R\)，因此，根据 Pappus 定理，有体积：
\[V = \pi R^2 \cdot 2 \pi R = 2 \pi^2 R^3\]有关 Pappus 定理的小问题
在前文的 Pappus 的介绍中，我们着重强调了旋转轴不会穿过曲线或平面区域这一条件. 如果我们不考虑这个条件，就会出现一些荒谬的结果.
考虑如下简单的情形：一个圆形绕着他的一条直径转半圆，质心（也就是圆心）走过的路径为 \(0\)，若仍旧按照 Pappus 定理，则有旋成的球体的体积为 \(0\)，显然，这是不合理的.
实际上 Pappus 定理的证明中，体积 \(V\) 是有向体积. 若旋转轴穿过曲线或平面区域，则轴将图形分成了左右两侧，左右两侧的旋成的面积或体积的符号相反. 换句话说，若转轴穿过了曲线或平面区域，就必须考虑符号问题，转轴质心所在侧，其体积为正，对侧体积为负.
当然，只要我们将轴设在曲线或面的的外面，就不需要考虑正负号的问题.