普物小问题(03)：电磁场低速下换系问题
Published:
题目
如图所示，真空中有两个点电荷 \(q\)，同向以同样的速度 \(v\) 运动，间距为 \(L\)，试求两个点电荷之间的相互作用力 \(F\).
错误解答
在空间中运动的点电荷首先会受到电场力的作用，电场力的大小为：
\[F_{E}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}L^{2}}\]为排斥力.
又因为运动中的点电荷可以等效为电流元，电流元相互之间有磁场力的作用. 运动中的点电荷所等效的电流大小为 \(I=qv\). 由 Biot-Savart 定理，有在另外一个点电荷处的磁场大小为：
\[B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I}{L^{2}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{qv}{L^{2}}\]因此，另一个点电荷受到的 Lorentz 力为：
\[F_{B}=qvB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{q^{2}v^{2}}{L^{2}}\]为吸引力.
综上，两个点电荷之间的排斥力为：
\[F=F_{E}-F_{B}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(1-\varepsilon_{0}\mu_{0}v^{2}\right)=\left(1-\beta^{2}\right)\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\]但是，上述过程也可以在同点电荷共同运动中的参考系中观测，此时两个粒子在参考系中的速度为 \(0\)，相互之间只受到了电场力的作用，因此两个点电荷之间的排斥力为：
\[F=F_{E}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\]并不等于前者的分析. 如何解释上述现象？
分析和正确解答
造成两个参考系分析的结果不同的原因在于，如果考虑高速情况，则进行了一次电磁场换系，但换系发生了错误；若只考虑了低速情况，则又少进行了一次近似. 具体分析过程如下.
高速下的电磁场换系以及计算
电磁场在相对高速运动的惯性系之间进行变换仍需要 Lorentz 变换，而不是简单的直接变换. 具体而言，设惯性系 \(S'\) 相对惯性系 \(S\) 以 \(x\) 方向正半轴速度 \(v\) 进行运动，则 \(S\) 系中的电磁场变换到 \(S'\) 的关系为：
\[\begin{aligned} E'_{x} & =E_{x},\quad B'_{x}=B_{x}\\ E'_{y} & =\gamma\left(E_{y}-vB_{z}\right),\quad B'_{y}=\gamma\left(B_{y}+\frac{v}{c^{2}}E_{z}\right)\\ E'_{z} & =\gamma\left(E_{z}+vB_{y}\right),\quad B'_{z}=\gamma\left(B_{z}-\frac{v}{c^{2}}E_{y}\right) \end{aligned}\]上述变换关系可以写成更紧致的形式：
\[\begin{aligned} \mathbf{E}'_{\parallel} & =\mathbf{E}_{\parallel},\quad\mathbf{B}'_{\parallel}=\mathbf{B}_{\parallel}\\ \mathbf{E}'_{\perp} & =\gamma\left(\mathbf{E}_{\perp}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}_{\perp}\right),\quad\mathbf{B}'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf{B}_{\perp}-\frac{1}{c^{2}}\mathbf{v}\times\mathbf{E}_{\perp}\right) \end{aligned}\]其中 \(\parallel\) 和 \(\perp\) 分别表示与相对速度 \(\boldsymbol{v}\) 平行和垂直的分量.
在原题中，记地面系为 \(G\),同两个点电荷共同运动的惯性系为 \(S\)，在 \(S\) 中，一个点电荷到另外一个点电荷之间的电场强度为：
\[E_{Sy}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{L^{2}}\]因此在 \(S\) 系两个点电荷之间的受力为：
\[F_{S}=\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\]\(S\) 系中的电磁场经过 \(S\to G\) 的 Lorentz 变换后，变为：
\[\begin{aligned} E_{Gy} & =\gamma E_{Sy}=\frac{\gamma}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{L^{2}}\\ B_{Gz} & =\gamma\frac{vE_{Sy}}{c^{2}}=\frac{\gamma v}{c^{2}}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{L^{2}} \end{aligned}\]因此，在 \(G\) 系两个点电荷之间的受力为：
\[\begin{aligned} F_{G} & =qE_{Gy}-qvB_{Gz}\\ & =\sqrt{1-\beta^{2}}\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\\ & =\sqrt{1-\beta^{2}}F_{E} \end{aligned}\]这里的 \(F_{G}=\sqrt{1-\beta^{2}}F_{E}\) 是符合相对论的结果的，考虑到质量膨胀以及加速度变换关系，两个参考系中观测到的力的大小有所不同是正常的（但不是原解答中的 \(1-\beta^{2}\)的关系）.
低速近似
一般而言，若题目没有强调是高速情况，则一般默认是在低速的情况下. 在低速下，电磁场 Lorentz 变换变为（取 \(v\ll c\) 的极限）：
\[\boldsymbol{E}'=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B},\quad\boldsymbol{B}'=\boldsymbol{B}-\frac{\boldsymbol{v}}{c^{2}}\times\boldsymbol{E}\]因此 \(S\) 系中的电磁场经过 \(S\to G\) 的变换后，变为：
\[\begin{aligned} E_{Gy} & =E_{Sy}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{L^{2}}\\ B_{Gz} & =\frac{vE_{Sy}}{c^{2}}=0 \end{aligned}\]可以看见，在取 \(v\ll c\) 的极限后，磁场实际为 \(0\)，因此，实际上，原解答中在计算电场时暗中使用了 \(v\ll c\) 的近似（当认为 \(S\) 系中两个运动中的点电荷之间的电场力的形式和静止点电荷之间的相同时，实际上已经使用了 \(v\ll c\) 的近似），但在计算磁场时由保留了 \(v\ll c\)，因此导致了计算的错误.
在经过了正确的换系后，我们可以得到：
\[F_{G}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q^{2}}{L^{2}}=F_{S},\quad\left(v\ll c\right)\]实际上，由于 Newton 力学本身就是相对论力学在 \(v\ll c\) 时候的近似，因此当我们使用 Newton 运动定律时，在受力分析中对于 \(v/c\) 的项绝大部分情况下都应该直接略去.（考虑到前面可能乘有相差较大数量级的系数，在此不说死）