浅谈牛顿第二定律
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牛顿第二定律并非一个完整的定律
（本章节大部分内容摘自高显的《经典力学》4.1 章节）
首先我们来思考，所谓的”牛顿第二定律”到底是什么？牛顿第二定律经常写为
\[\boldsymbol{F}=m\ddot{\boldsymbol{x}}\]将系统的运动状态的改变归结为”力”. 但我们关心的是系统的”状态”以及决定状态的演化规律，”力”只是我们为了解释系统的运动状态的改变所引入的概念，而牛顿第二定律并没有告诉我们力是什么. 实际上，为了给出系统实际的演化规律，单有牛顿第二定律是不够的，我们还需要对物理进行受力分析，给出”力”的规律. 比如，当我们分析一个在重力场中自由落体的质点时，除了牛顿第二定律外，我们还需要”重力规律”\(\boldsymbol{F}=-m\boldsymbol{g}\)，又比如，当我们分析一个弹簧上的谐振子时，我们还需要”胡克定律”\(\boldsymbol{F}=-k\boldsymbol{x}\)，以此才能完整地给出粒子的运动规律. 可以看出，”力”在完整的物理规律中只起到了一个媒介作用，将”力的规律”和物体的运动状态结合，给出完整的物理规律. 实际上，对于前面的两个问题而言，完整的物理规律应该是：
\[m\ddot{z}=-mg\quad m\ddot{x}=-kx\]这其中完全可以没有”力”的概念，所谓牛顿第二定律不过是把右边的东西叫做”力”而已. 从这个角度来看，牛顿第二定律只能算半个物理定律，或者与其说是一条物理规律，不如说只是关于”力”这个概念的定义而已.
对于一般的物理系统，其运动方程不能直接写成牛顿第二定律的形式，这时候我们有两种选择，一是固守牛顿第二定律的形式，将所有的非加速度项全部移到右侧，称为”某某惯性力”. 当然也有另一种选择，就是直接放弃牛顿第二定律的形式，承认牛顿第二定律的局限性，转而寻找一种新的、更一般的原理，从而直接得到体系完整的物理规律. 这为分析力学的提出给出的一种合理的契机.一般的教材提出分析力学是从矢量力学中约束过多，导致分析求解过于复杂而引入的，但其不能解释为何分析力学在更一般的情景中有更广泛的应用. 而前文的描述给了我们一个新的看待分析力学的观点.
为何是二阶导
既然我们已经知道了所谓的牛顿第二定理更像一个”力”的定义，因此又有一个问题，为何”力”这一概念的定义和位移的二阶导息息相关.
当然，我们可能可以从物理学史的角度回答，由于 Galileo 等通过实验说明外界对物体的”作用”不是维持物体运动的原因，因此 Newton 在描述外界对物体的”作用”（也就是力）时只能从二阶导开始选取，为了方便使用了可选的最低阶也就是二阶导，并以此提出一个线性理论，也就是”力”，并被之后的人广泛使用.
但这并没有解释一个问题，为何基于二阶导的力的定义是最方便的，即使是在非惯性系等情况，我们也可以将非加速度项等效于某某力，且其中的每一项都是二阶导的形式.
在《费曼物理学讲义》的第一卷第 12 章中，Feynman 设想了另一种力的定义：Gorce，其同样具有”互反律”（即类似牛顿第三定律），且同位移的一阶导成正比. 实际上，对于一个任意的运动过程，我们总可以进行 Taylor 展开：
\[\boldsymbol{x}\left(t\right)=\boldsymbol{x}_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\left.\frac{\mathrm{d}^{n}\boldsymbol{x}}{\mathrm{d}t^{n}}\right|_{t=0}\right)t^{n}\]从而可以在任意的 \(n\) 阶导数构建我们的理论，在给定的初始条件下得到任意时刻的位移.
\[\begin{aligned} \boldsymbol{x}\left(t\right) & =\boldsymbol{x}_{0}+\int_{0}^{t}\boldsymbol{v}\mathrm{d}t\\ \boldsymbol{x}\left(t\right) & =\boldsymbol{x}_{0}+\boldsymbol{v_{0}}t+\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}\boldsymbol{a}\mathrm{d}t\mathrm{d}t\\ \boldsymbol{x}\left(t\right) & =\boldsymbol{x}_{0}+\boldsymbol{v}_{0}t+\frac{1}{2}\boldsymbol{a}_{0}t^{2}+\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}\int_{0}^{t}\boldsymbol{a^{\prime}}\mathrm{d}t\mathrm{d}t\mathrm{d}t\\ & \cdots \end{aligned}\]不难发现，无论 \(n\) 等于多少，式子中的积分项的被积函数（\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}^{\prime},\dots\)）均是独立的，必须通过外部的约束才能给出，无法形成封闭的理论. 为解决这个问题，我们可以引入场论的方法.
场与源
根据
\[\boldsymbol{x}\left(t\right)=\boldsymbol{x}_{0}+\int_{0}^{t}\boldsymbol{v}\mathrm{d}t\]我们可以指定不同的 \(\boldsymbol{x}_{0}\) 从而让轨迹铺满空间，即我们认为，在外界环境不变的情况下，物体受到环境的”作用”和时间不直接相关，只依赖于物体的位置（实际上，这也假设了物理规律的时间平移不变性），因此我们令 \(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{x}\left(t\right)\right)\)，因此：
\[\frac{\mathrm{d}v_{i}\left(\boldsymbol{x}\right)}{\mathrm{d}t}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{k}}\frac{\mathrm{d}x_{k}}{\mathrm{d}t}\Longrightarrow\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}\left(\boldsymbol{x}\right)}{\mathrm{d}t}=\left(\nabla\boldsymbol{v}\right)\dot{\boldsymbol{x}}=\left(\dot{\boldsymbol{x}}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}\cdot\nabla\boldsymbol{v}\]其中 \(n\) 为空间维度. 于是我们便有了一个封闭的速度场方程.并且，由于 \(\nabla\boldsymbol{v}\) 可以写成一个矩阵，其中包含了旋度和散度的信息，而 \(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\boldsymbol{v}\) 很大程度上与源 \(\nabla\cdot\boldsymbol{v}\) 有关，这对应的就是力的物质起源.
可见，牛二是反映力的物质起源的最简单的封闭场方程，最简单之所以在于二阶，是因为坐标场本身无需方程.