普物小问题(01)：变质量的两种情况

在一般的变质量问题中，一般有两种情况：获得质量和损失质量，实际上这两种质量变化过程是有区别的. 在获得质量的问题中，新加入系统的 \(\mathrm{d}m\) 在加入系统前一般相对地面是静止的，在加入系统后受到一个冲量，因此会对原系统有一个力的作用. 而对于一个损失质量的过程，一般而言，离开系统的质量微元 \(\mathrm{d}m\) 在离开系统时和原系统共速（即分离是不增加能量的分离. 若分离时不和原系统共速，则由 Konig 定理，系统的总能量变大，即分离时增加了系统的能量.），因此分离的 \(\mathrm{d}m\) 并不会对原来的系统有一个力的作用.

获得质量问题

我们先从较为熟悉的获得质量问题开始. 考虑如下过程：\(t\) 时刻一个质量为 \(m\) 的物体，受到外力 \(F\) 以速度 \(v\) 运动，\(\mathrm{d}t\) 内质量增加了 \(\mathrm{d}m\)（质量微元初始时相对地面静止），整体速度增加了 \(\mathrm{d}v\)，因此，根据动量定理，有：

上式中左侧是系统的动量改变量，右侧是前后的动量差. 忽略二阶小量，有：

这里第二项是 \(\mathrm{d}m\) 在 \(\mathrm{d}t\) 内受到的冲量. 上式又可以进一步化简：

即所谓的 Newton 定律的动量形式.

损失质量问题

现在我们来分析损失质量问题，根据前文所述，这里我们假定分离出去的质量与原系统共速，并不会对系统产生力的作用，因此，同样考虑如下过程：\(t\) 时刻一个质量为 \(m\) 的物体，受到外力 \(F\) 以速度 \(v\) 运动，\(\mathrm{d}t\) 内质量无初速地减少了 \(\mathrm{d}m\)，整体速度增加了 \(\mathrm{d}v\)，因此，根据动量定理，有：

上式中左侧是系统的动量改变量，右侧是前后的动量差. 注意这里等式左侧相比获得质量的情况多了一项 \(-v\mathrm{d}m\)，这是由于分离出去的 \(\mathrm{d}m\) 有初速，会从系统中带走一部分动量. 而对于获得质量问题，由于质量微元初始时相对地面静止，其没有动量，不会给系统带来额外的动量，因此不需要加上 \(v\mathrm{d}m\).

上式展开，忽略二阶小量，有：

可以看到，这里相比获得质量问题少了 \(\mathrm{d}m\) 在 \(\mathrm{d}t\) 内受到的冲量这一项. 上式又可以进一步化简：

注意这里的质量 \(m\) 实际上还是随时间变化的，但没有 \(v\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\) 这一项.

在损失质量的模型中，直接使用 Newton 定律的动量形式，将 \(\mathrm{d}(mv)\) 展开成 \(m\mathrm{d}v\) 和 \(v\mathrm{d}m\) 是完全错误的，实际是忽略了分离出去的质量本身所携带的动量.

对于实际问题

对于一个实际问题， 质量变化的过程可能更加复杂. 实际上，质量并不一定是对时间均匀变化的. 如一个单摆在充满静止灰尘中摆动，随着单摆的运动，单摆沾上灰尘质量增加，这里质量增加的速率和速度成正比，并不是随时间均为变化的. 但如果是一个干冰构成的摆或者是一个湿摆，会因为干冰升华或液体蒸发而缓慢损失质量，此时质量的变化速率应主要与单摆本身的质量和体积有关，因此在一个周期内可以认为质量是均匀变化的，但长时间下质量变化的速率仍是有变化的.

这里提到的两个模型在计算单摆的浸渐不变量中会带来除了质量增加和质量损失的区别外的其他区别. 这里暂且不继续说明，可能之后单开一篇文章进一步阐述. 总之，对于一个质量变化的问题，我们往往需要仔细考察质量变化的具体过程，直接套用一些现有的结论往往会带来错误.