傅科摆与微分几何
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在《新概念物理》中给出了一个简略的对傅科摆的几何分析，本文通过微分几何对此分析给出一个严谨的推导.
《新概念物理》中对傅科摆的分析
如图所示，假设傅科摆某时刻处于位置 \(A\)，经过了一个 \(\Delta t\) 的时间后随着地球自转达到了 \(B\). 过 \(A\)、\(B\) 两点作子午线的切线并交于地轴于同一点，该点与 \(A\)、\(B\) 两点所在纬线圆形成了一个圆锥. 在 \(A\)、\(B\) 两点上沿着水平面作平面直角坐标系，其中 \(x\) 轴指向东，\(y\) 轴指向北.
现在，我们将前面构建的圆锥展开，则 \(A\)、\(B\) 两点的坐标系如图中所示（\(A\) 点坐标系为洋红色，\(B\) 点坐标系为橙色），现在，我们将 \(B\) 点坐标系 “平行移动” 到 \(A\) 点，显然，“平行移动”后 \(B\) 点的坐标系相比于 \(A\) 点旋转了一个角度. 此角度显然为 \(A\)、\(B\) 两点所对应的在展开圆锥上的扇形所对应的圆心角 \(\alpha\).
现在，我们来求出 \(\alpha\) 的表达式. 在一个 \(\Delta t\) 后，地球自转了 \(\phi = \omega \Delta t\) 的角度. 因此，弧 \(\mathop{AB}\limits^{\frown}\) 可以表示为：
\[\mathop{AB}\limits^{\frown} = R \cos \theta \cdot \phi = L \alpha\]其中：\(L \sin \theta = R \cos \alpha\)
解得：\(\alpha = \phi \cdot \sin \theta = (\omega \sin \theta) \Delta t\)
因此，坐标系旋转的角速度为：\(\Omega = \frac{\alpha}{\Delta t} = \omega \sin \theta\)
当傅科摆在坐标系中摆动时，由于坐标系本身的旋转，其会相对于坐标系有进动，而进动的角速度显然等于坐标系旋转的角速度 \(\Omega\)，因此傅科摆进动的角速度为 \(\omega \sin \theta\)，其中 \(\theta\) 为所在位置的纬度.
微分几何计算傅科摆
《新概念物理》中对傅科摆的推导简便，但也受限于读者的知识储备没有精确的推导，使得其中的“平行移动”这一步容易令人迷惑. 下面我们借助微分几何给出一个更严谨准确的推导过程1.
首先，我们先选取坐标，令 \(x^1 = \phi\)、\(x^2 = \theta\). 我们可以很容易地写出球面下线元的表达式：
\[\mathrm{d} s^2 = R^2 \mathrm{d} \theta^2 + R^2 \cos^2(\theta) \mathrm{d} \phi^2\]因此，我们可以写出度规为：
\[g_{\mu \nu} = \begin{bmatrix} R^2 \cos^2(\theta) & \\ \\ & R^2 \end{bmatrix}\]并进一步计算出非零克式符为：
\[\Gamma^1_{12} = \Gamma^1_{21} = -\tan \theta, \quad \Gamma^2_{11} = \sin \theta \cos \theta\]现在，给定一条曲线 \(x^\mu (t)\)，其中 \(x^1 = \omega t\)、\(x^2 = \theta\)，对于任意矢量 \(V^\mu\) 并让此矢量沿着曲线 \(x^\mu(t)\) 平行移动，则根据微分几何的结论，其满足如下平行移动方程（记为式 1）：
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} V^\mu + \Gamma^\mu_{\sigma \rho} \frac{\mathrm{d} x^\sigma}{\mathrm{d} t} V^\rho = 0\]这是一个一阶线性方程，若给定某点处的初始矢量 \(\hat{V_0}\)，则可化为一个初值问题. 因此上述方程可以确定沿曲线 \(x^\mu(t)\) 的唯一一个矢量场 \(\hat{V}(t)\)，这由微分方程的唯一性确定. 此矢量场 \(\hat{V}(t)\) 便蕴含了我们想要的矢量分量 \(V^\mu\) 随时间的变化规律.
根据式(1)，我们可以得到如下微分方程（记为式 2）：
\[\frac{\mathrm{d} v^1}{\mathrm{d} t} = \omega \tan \theta \cdot v^2, \quad \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d}t} = - \omega \sin \theta \cos \theta \cdot v^1\]记 \(\mathbf{v} = (v^1,v^2)^T\)，
\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} & \tan \theta \\ -\sin \theta \cos \theta & \end{bmatrix}\]因此，式(2) 便可以写为：
\[\frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t} = \omega \mathbf{A} \mathbf{v}\]解为：\(\mathbf{v} = \mathbf{v}_0 \mathrm{e}^{\omega \mathbf{A} t}\)
这里出现了 \(\mathrm{e}\) 的矩阵次方，下面求出其等价的形式. 先求出矩阵 \(A\) 的特征值：\(-\mathrm{i} \sin \theta\)、\(\mathrm{i} \sin \theta\) 以及对应的特征向量：
\[\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} \frac{\mathrm{i} \sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} \\ 1 \end{bmatrix} ,\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} \frac{\tan \theta}{\mathrm{i} \sin \theta} \\ 1 \end{bmatrix}\]记 \(\mathbf{P} = (\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2)\)，于是有：
\[\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P} = \begin{bmatrix} -\mathrm{i} \sin \theta & \\ & \mathrm{i} \sin \theta \end{bmatrix}\]因此：
\[\mathrm{e}^{\omega \mathbf{A} t} = \mathbf{P} \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t \sin \theta} & \\ & \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t \sin \theta} \end{bmatrix} \mathbf{P}^{-1} = \begin{bmatrix} \cos (\omega t \sin \theta) & \frac{\sin(\omega t \sin \theta)}{\cos \theta} \\ \\ -\sin(\omega t \sin \theta) \cos \theta & \cos(\omega t \sin \theta) \end{bmatrix}\]此矩阵又可以化为下面三个矩阵的乘积：
\[\mathrm{e}^{\omega \mathbf{A} t} = \begin{bmatrix} \sec \theta & \\ & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos (\omega t \sin \theta) & \sin(\omega t \sin \theta) \\ \\ -\sin(\omega t \sin \theta) & \cos(\omega t \sin \theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \\ & 1 \end{bmatrix}\]这里的第一个矩阵显然是第三个矩阵的逆. 第一个相当于先收缩了 \(x^1\) 对应的基矢，乘上了 \(\sec \theta\) 的系数，而 第三个矩阵在放大回去. 出现这两个矩阵只是因为 \(x^1\) 对应的基矢和 \(x^2\) 对应的基矢的模长不同. 根据线元表达式：
\[\mathrm{d} s^2 = R^2 \left(\mathrm{d} x^2 \right)^2 + R^2 \cos^2(\theta) \left( \mathrm{d} x^1 \right)^2\]显然，\(x^1\) 对应的基矢 \(\mathbf{e}_1\) 是 \(x^2\) 对应的基矢 \(\mathbf{e}_2\) 的 \(\cos \theta\) 倍，因此才会出现第一个矩阵和第三个矩阵来“统一”基矢长度.
由于这里的 \(x^1\) 是逆变分量，当基矢 \(\mathbf{e}_1\) 乘上 \(\cos \theta\) 时，对应的 \(x^1\) 会乘上 \(\sec \theta\).
这里的第二个矩阵为旋转矩阵，旋转角度为 \(\Phi = \omega t \sin \theta\)，旋转角速度为 \(\Omega = \omega \sin \theta\). 因此，对于坐标系中的任意一个矢量 \(\hat{V_0}\)，其会发生进动，进动的角速度为 \(\omega \sin \theta\)，此即傅科摆进动的角速度. 其中 \(\theta\) 为傅科摆所在纬度.
至于为何《新概念物理》中的”平行移动“是对的，可以参考这篇论文：doi: 10.6052/1000-0879-23-422 ↩