从 Hamilton 原理及对称性导出低速弱场下 Lagrange 量
Published:
本文给出从 Hamilton 原理及对称性导出低速弱场下 Lagrange 量的方法.
一般而言，我们介绍分析力学是从我们所熟悉的 Newton 定律通过虚功原理和 d’Alembert 原理从而得到 Eular-Lagrange 方程以及对应的 Lagrange 量. 在此我们通过另外一种方法，将 Hamilton 原理作为某种”公理”，从最简单最基础的角度进行分析和推导，经过低速近似和弱场近似，得到相同的 Lagrange 量. 此方法相比原本的方法更为现代，同时也体现了对称性在现代物理学研究范式中的重要地位.
（注：本文中均使用 Einstein 求和约定）
Hamilton 原理
如果一个力学体系可以完全由一系列变量 \(q_{1},q_{2},\cdots,q_{i}\) 来描述，则称这一组变量为该力学体系的广义坐标. 一个力学体系的所有广义坐标 \(q_{i}\) 构成一个”空间”，称为该力学体系的位形空间. 需要注意，力学体系的位形空间一般不是一个平直的空间，而且其拓扑结构往往也不是平庸的. 一个力学体系的所有广义速度 \(\dot{q}_{i}\) 也构成一个”空间”. 对于位形空间中的一点，其所有的广义速度构成的”空间”称为位形空间（流形）的切丛1.
在整个经典力学乃至整个物理学中，有如下极其重要的定理2
\(\mathbf{Theorem}:\) (Hamilton 原理). 任意力学体系中都存在一个与运动相关的量，称为最小作用量，记作 \(S\)，其为一个 Lorentz 标量.如果一个力学体系在 \(t_{1}\) 和 \(t_{2}\) 时刻分别由广义坐标 \(q_{i}^{(1)}\)，\(q_{i}^{(2)}\) 描写，则作用量 \(S\) 可以描述为在这两个位形中各种可能轨道的泛函.
\[S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\,\mathcal{L}(q_{i},\dot{q}_{i},t)\]这里的被积函数 \(\mathcal{L}\) 被称为 Lagrange 量.该力学体系从 \(t_{1}\) 到 \(t_{2}\) 的实际轨迹满足作用量 \(S\) 取极值.3
要得到一个特定力学体系的作用量，最常用的方法是从体系的对称性出发，从而构建出相应的 Lorentz 标量. 从最小作用量出发，要求解出力学体系的运动方程，则可以通过变分法得到.
\(\mathbf{Theorem}:\) (Euler-Lagrange 方程). 对于一个泛函
\[S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\,\mathcal{L}(q_{i},\dot{q}_{i},t)\]若使得上述泛函能取到极值，则其一阶变分为 \(0\)，其内部的 \(\mathcal{L}\) 满足：
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_{i}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_{i}}=0\]此即 Euler-lagrange 方程.
一旦给定了一个力学体系的 Lagrange 量（作用量），根据 Hamilton 原理和变分法可知，体系的运动方程由 E-L 方程决定. 因此，经典力学体系的性质完全由 Lagrange 量（作用量）决定，其包含了体系所有的力学信息.
我们定义该力学体系中与某个广义坐标 \(q_{i}\) 共轭的广义动量4 \(p_{i}\):
\[p_{i}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_{i}}\]因此，前文的 E-L 方程又可以写为:
\[\frac{\mathrm{d}p_{i}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_{i}}\]由于与牛顿力学中的方程类似，方程的右边又被称为广义力.
相对论下自由粒子的运动方程
由于作用量是一个 Lorentz 标量，在相对论中我们所能想到的最简单的 Lorentz 标量就是世界线长度，因此，对于一个相对论下的自由粒子，其作用量可以写成如下形式
\[S=\alpha\int\mathrm{d}s\]其中 \(\mathrm{d}s=\sqrt{\mathrm{d}x^{\mu}\mathrm{d}x_{\mu}}\) 为世界线线元，\(\alpha\) 则是一个常量. 为了兼容传统的牛顿力学，可以得到5 \(\alpha=-mc\)，因此有
\[S=-mc\int\mathrm{d}s\]对上式做变分，有
\[\begin{aligned} \delta S & =-mc\int\delta(\mathrm{d}s)=-mc\int\mathrm{d}\tau\,\delta\left(\sqrt{\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\tau}}\right)\\ & =-mc\int\mathrm{d}\tau\,\delta\left(\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}\right)\quad\left(u_{\mu}=\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\tau},\ u^{\mu}=\frac{\mathrm{d}u^{\mu}}{\mathrm{d}\tau}\right)\\ & =-mc\int\mathrm{d}\tau\frac{u_{\mu}\delta u^{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\\ & =-mc\int\mathrm{d}\tau\left[\frac{u_{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(\delta x^{\mu})\right]\\ & =mc\int\mathrm{d}\tau\,\delta x^{\mu}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{u_{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\right)-mc\left[\delta x^{\mu}\frac{u_{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\right]_{\text{start}}^{\text{finish}} \end{aligned}\]上式由于为固定起点到终点的变分，因此第二项恒为 \(0\). 因此可以得到自由粒子的运动方程为
\[\frac{\mathrm{d}^{2}x_{\mu}}{\mathrm{d}\tau^{2}}=0 \quad \left(\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}=c\right)\]也就是匀速直线运动.
相对论下与标量场相互作用粒子的运动方程
最简单的一个外场本身就是一个无量纲的 Lorentz 标量（也就是所谓的标量场6），一个相对论性粒子与其相互作用的作用量可以写成7
\[S=-mc\int\mathrm{d}s\,e^{\Phi(x)}\]同样，对上式做变分
\[\begin{aligned} \delta S & =-mc\int\mathrm{d}\tau\,\delta\left(e^{\Phi}\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}\right)\\ & =-mc\int\mathrm{d}\tau\left[\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}e^{\Phi}\delta\Phi+\frac{e^{\Phi}u_{\mu}\delta u^{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\right]\\ & =-mc\int\mathrm{d}\tau\left[\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}e^{\Phi}\frac{\partial\Phi}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\frac{e^{\Phi}u_{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(\delta x^{\mu})\right] \end{aligned}\]对第二项使用分部积分并同样由于为固定起点和终点的变分，因此丢掉边界项，得到
\[\int\mathrm{d}\tau\frac{e^{\Phi}u_{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(\delta x^{\mu})=-\int\delta x^{\mu}\mathrm{d}\tau\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{e^{\Phi}u_{\mu}}{\sqrt{u_{\mu}u^{\mu}}}\right)\]带入回原式，由变分学基本引理，可得
\[c^{2}e^{\Phi}\frac{\partial\Phi}{\partial x^{\mu}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(e^{\Phi}u_{\mu})=e^{\Phi}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}x_{\mu}}{\mathrm{d}\tau^{2}}+\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}\tau}\frac{\partial\Phi}{\partial x^{\nu}}\frac{\mathrm{d}x_{\nu}}{\mathrm{d}\tau}\right)\]进一步化简，注意到 \(\mathrm{d}s=c\mathrm{d}\tau\)，可得
\[\frac{\mathrm{d}^{2}x_{\mu}}{\mathrm{d}s^{2}}+\frac{\mathrm{d}x_{\mu}}{\mathrm{d}s}\frac{\partial\Phi}{\partial x^{\nu}}\frac{\mathrm{d}x_{\nu}}{\mathrm{d}s}=\frac{\partial\Phi(x)}{\partial x^{\mu}}\]此即为相对论性粒子与标量场相互作用下的运动方程.
非相对论极限与弱场近似
对于一个在标量场中的粒子，其作用量为：
\[S=-mc\int\mathrm{d}s\,e^{\Phi(x)}=-mc^{2}\int\mathrm{d}t\,\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{c^{2}}}\,e^{\Phi(\boldsymbol{x},t)}\]因此其 Lagrange 量为：
\[\mathcal{L}=-mc^{2}\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{c^{2}}}\,e^{\Phi(\boldsymbol{x},t)}\]若粒子速度 \(v\ll c\) 且标量场 \(\Phi(\boldsymbol{x},t)=\frac{V(\boldsymbol{x},t)}{mc^{2}}\) 同时 \(V(\boldsymbol{x},t)\ll mc^{2}\)，分别对 \(\sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{c^{2}}}\) 和 \(e^{\Phi(\boldsymbol{x},t)}\) 展开，有：
\[\begin{aligned} \sqrt{1-\frac{\boldsymbol{v}^{2}}{c^{2}}} & \approx1-\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}},\\ e^{\Phi(\boldsymbol{x},t)} & \approx1+\frac{V}{mc^{2}} \end{aligned}\]因此：
\[\begin{aligned} \mathcal{L} & \approx-mc^{2}\left(1-\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left(1+\frac{V}{mc^{2}}\right)\\ & =-mc^{2}\left(1-\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{V}{mc^{2}}-\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{V}{mc^{2}}\right)\\ & =-mc^{2}\left(1-\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{V}{mc^{2}}\right)\quad\text{（略去高阶小量）}\\ & =\frac{1}{2}mv^{2}-V-mc^{2} \end{aligned}\]上式中的 \(mc^{2}\) 为常量，可略去. 因此在非相对论极限和弱场近似下的 Lagrange 量为：
\[\mathcal{L}=T-V,\quad T=\frac{1}{2}mv^{2}\]这与从 Newton 定律通过虚功原理和 d’Alembert 原理得到的 Lagrange 量是一致的.