从零开始的 Maxwell 方程组
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符号约定
这里我们记：
\[\mathrm{d}x^{\mu_{1}}\wedge\mathrm{d}x^{\mu_{2}}\wedge\cdots\wedge\mathrm{d}x^{\mu_{n}}\equiv\mathrm{d}x^{\mu_{1},\mu_{2},\dots,\mu_{n}}\]且四维 Minkowski 时空坐标取 \(\left(t,x,y,z\right)\)，度规选取为 \(g_{\mu\nu}=\text{diag}\left(-1,1,1,1\right)\)，同时，令：
Greek 指标：\(\mu,\nu,\dots\in\left[0,3\right]\)
Latin 指标：\(i,j,\dots\in\left[1,3\right]\)
同时，根据之前的 Blog，我们知道：
外微分：\(\mathrm{d}:\Omega^{k}\left(M\right)\to\Omega^{k+1}\left(M\right)\) （升维微分）
余微分：\(\delta:\Omega^{k}\left(M\right)\to\Omega^{k-1}\left(M\right)\) （降维微分）
Laplace - de Rham 算子：\(\Delta:\Omega^{k}\left(M\right)\to\Omega^{k}\left(M\right)\) （保维微分）
静电场
首先我们假设有一个空间中最简单的标量势场 \(\phi\in\Omega^{0}\)，因此存在”保维微分”给定的一个标量场：
\[\rho\equiv\Delta\phi\in\Omega^{0}\]上式即荷密度.
由于标量场 \(\phi\in\Omega^{0}\)，因此我们只能作”升维微分”，从而定义场强（这里的符号是为了遵从物理的方向，即场的方向是从势能高指向势能低，只是一个正方向的定义问题）：
\[\boldsymbol{E}\equiv-\mathrm{d}\phi=-\partial_{i}\phi\mathrm{d}x^{i}\in\Omega^{1}\Longleftrightarrow\boldsymbol{E}=-\nabla\phi\]\(\Omega^{1}\) 场再取”升维微分”，得到场的旋度（由 Poincare 引理知 \(\mathrm{d}^{2}\phi=0\)）：
\[\mathrm{d}\boldsymbol{E}=-\mathrm{d}^{2}\phi=-\partial_{i}\partial_{j}\phi\mathrm{d}x^{i,j}=0\Longleftrightarrow\nabla\times\boldsymbol{E}=0\]取”降维微分”，得到场的散度：
\[\delta\boldsymbol{E}=\partial_{i}\partial_{i}\phi=\Delta\phi=\rho\Longleftrightarrow\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho\]以上，我们得到了所有静电场理论：
\[\begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol{E} & =\rho\\ \nabla\times\boldsymbol{E} & =0 \end{aligned}\]Lorentz 协变，Maxwell 方程组的导出
虽然我们已经得到了一个静电场理论，但我们不难发现，最开始的这个标量势场 \(\phi\) 并不满足于 Lorentz 协变性，以此给出的 \(\boldsymbol{E}\) 同样也不满足于 Lorentz 协变性的要求. 为了使得我们的理论能满足 Lorentz 协变的要求，我们需要进行一些修改. 在我们的理论中，我们已经知道了静电场是无旋的，那么运动的电荷是否会产生涡呢？相对论给出了肯定的回答，因此，我们可以给电场引入涡，涡只能用矢量表示，记为 \(\boldsymbol{A}\)，因此，我们令：
\[\boldsymbol{E}=-\nabla\phi+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\]这里的加法和偏导保证当运动停止，一切回归与静电场.
现在我们有两个势能，一个 \(\phi\)，一个 \(\boldsymbol{A}\)，我们直接将两者拼接起来，构造一个四矢势 \(\mathcal{A}=\left(\phi,\boldsymbol{A}\right)\)，即：
\[\mathcal{A}=\phi\mathrm{d}t+A_{i}\mathrm{d}x^{i}\equiv A_{\mu}\mathrm{d}x^{\mu}\in\Omega^{1}\]其中 \(x^{0}\equiv t,A_{0}\equiv\phi\). 同样地，对这个矢势做”升维微分”，得到场：
\[F\equiv\mathrm{d}\mathcal{A}=\left(-\partial_{i}\phi+\partial_{0}A_{i}\right)\mathrm{d}x^{0,i}+\partial_{i}A_{j}\mathrm{d}x^{i,j}\in\Omega^{2}\]其中：
\[\begin{aligned} F_{0i}=-\partial_{i}\phi+\partial_{0}A_{i} & \Longrightarrow\boldsymbol{E}=-\nabla\phi+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\\ B_{k}\mathrm{d}x^{k}\equiv\star\left(\partial_{i}A_{j}\mathrm{d}x^{i,j}\right) & \Longrightarrow\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A} \end{aligned}\]\(\Omega^{2}\) 的场再做”升维微分”（由 Poincare 引理知 \(\mathrm{d}^{2}\mathcal{A}=0\)）：
\[\mathrm{d}F=\partial_{\lambda}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\lambda,\mu,\nu}=0\]其中同样可以拆成两部分：
\[\begin{aligned} \left[\partial_{0}F_{ij}-\left(\partial_{i}F_{0i}-\partial_{j}F_{0j}\right)\right]\mathrm{d}x^{0,i,j}=0 & \Longrightarrow\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\nabla\times\boldsymbol{E}=0\\ \partial_{i}F_{jk}\mathrm{d}x^{ijk}=0 & \Longrightarrow\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 \end{aligned}\]对 \(F\) 做”降维微分”，并定义四矢量 \(\mathcal{J}\)：
\[\mathcal{J}\equiv\delta F=\partial_{\mu}F_{\mu\nu}\mathrm{d}x^{\nu}\]其中：
\[\begin{aligned} \mathcal{J}_{0} & =\partial_{\mu}F_{\mu0}\mathrm{d}x^{0}=\nabla\cdot\left(F_{i0}\mathrm{d}x^{i,0}\right)=\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho\\ J_{e} & \equiv\left(\mathcal{J}_{1},\mathcal{J}_{2},\mathcal{J}_{3}\right)=\left(\partial_{0}F_{0i}+\partial_{j}F_{ji}\right)\mathrm{d}x^{i} \end{aligned}\]上式中的第二个式子又可以改写成：
\[\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}-\nabla\times\boldsymbol{B}=J_{e}\]综上所述，我们导出了完整的 Maxwell 方程组：
\[\begin{aligned} \mathrm{d}F=0 & \Longrightarrow\begin{cases} \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\nabla\times\boldsymbol{E}=0\\ \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0 \end{cases}\\ \delta F=\mathcal{J} & \Longrightarrow\begin{cases} \nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho\\ \frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}-\nabla\times\boldsymbol{B}=J_{e} \end{cases} \end{aligned}\]