普物小问题(02)：不同参考系下的能量变化问题
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（原题出自《200 道物理学难题》Q51）
问题
如图所示，地面上 A 观察到有一辆车经历第一阶段从静止加速到 \(v_{0}\) ，再经历第二阶段进一步加速到 \(2v_{0}\)，并推测汽车从 \(0\) 加速到 \(v_{0}\) 所消耗的汽油是从 \(v_{0}\) 加速到 \(2v_{0}\) 的 \(1/3\). 这里 A 假设汽油的化学能几乎全部转化为汽车的动能，即忽略了空气阻力以及其他各种摩擦力的影响，且忽略消耗汽油带来的汽车质量变化. 又因汽车动能随速度的平方成正比，因此得到汽车第一阶段消耗的汽油是第二阶段的 \(1/3\).
现在在旁边以汽车运动速度方向相反且相对地面运动速度为 \(v_{0}\) 列车上有另一人 B 同样观察汽车加速的过程，B 认为汽车从 \(v_{0}\) 加速到 \(2v_{0}\) 再加速到 \(3v_{0}\)，从而类似 A 的计算，得到汽车第一阶段消耗的汽油是第二阶段的：
\[\frac{(2v_{0})^{2}-v_{0}^{2}}{(3v_{0})^{2}-(2v_{0})^{2}}=\frac{3}{5}\]倍，从而与 A 的结论矛盾. 那么，A 与 B 的结论谁对？如何解释这种情况？
解答
首先给出结论，A 的分析正确，B 的分析错误. 在上述问题中，汽车本身并不构成封闭系统，其会与周围环境相关联，在本题中，其关联的对象是地球. 因此，在分析能量时，我们还需要考虑对地球的影响，这也是导致 B 分析错误的原因. 具体而言，我们可以以两种方式进行分析和计算.
分析 1
在加速过程中，汽车必然反作用于地球，并导致地球的角速的及其微小的变化. 这个对地球而言及其微小的效应在计算能量时必须考虑，才能解释题目中的悖论.
简单而言，我们考虑如下模型：
考虑质量为 \(m\) 的汽车，行驶在可自由移动，质量为 \(M\) 的板上，且有 \(m\ll M\). 对于一个静止的观察者 A，当 \(m\) 从 \(0\) 加速到 \(v_{0}\) 时，根据动量守恒，有 \(M\) 从 \(0\) 加速到 \(mv_{0}/M\). 同理当 \(m\) 从 \(v_{0}\) 加速到 \(2v_{0}\) 时，有 \(M\) 从 \(mv_{0}/M\) 加速到 \(2mv_{0}/M\).
因此第一阶段结束后，系统的总动能为：
\[T_{1}=\frac{1}{2}m\left(1+\frac{m}{M}\right)v_{0}^{2}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}\quad(m\ll M)\]同理，第二阶段系统的总动能为：
\[T_{2}=2m\left(1+\frac{m}{M}\right)v_{0}^{2}=2mv_{0}^{2}\quad(m\ll M)\]注意到由于 \(m\ll M\)，因此得到 \(T_{1}\) 和 \(T_{2}\) 动能均为汽车的动能，大质量板 \(M\) 的动能及其变化可忽略不计. 因而我们可以得到，两段加速过程中的能量变化比值为：
\[\frac{\Delta E_{1}}{\Delta E_{2}}=\frac{T_{1}-0}{T_{2}-T_{1}}=\frac{1}{3}\]对于以速度 \(v_{0}\) 匀速运动的观察者而言情况则完全不同，在汽车没有加速时，系统的总动能为：
\[T_{0}=\frac{1}{2}mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{0}^{2}\]当 \(m\) 从 \(v_{0}\) 加速到 \(2v_{0}\) 再到 \(3v_{0}\) 时，根据动量守恒，有 \(M\) 从 \(v_{0}\) 变到 \((1-m/M)v_{0}\) 再到 \((1-2m/M)v_{0}\). 因此，整个过程中，第一阶段结束后和第二阶段结束后的系统总动能分别为：
\[\begin{aligned} T_{1} & =\frac{1}{2}m\left(2v_{0}\right)^{2}+\frac{1}{2}M\left(1-\frac{m}{M}\right)^{2}v_{0}^{2}\\ & =mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}\frac{m^{2}}{M}v_{0}^{2}\\ & =mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{0}^{2}\quad(m\ll M) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} T_{2} & =\frac{1}{2}m\left(3v_{0}\right)^{2}+\frac{1}{2}M\left(1-\frac{2m}{M}\right)^{2}v_{0}^{2}\\ & =\frac{5}{2}mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{0}^{2}+2\frac{m^{2}}{M}v_{0}^{2}\\ & =\frac{5}{2}mv_{0}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{0}^{2}\quad(m\ll M) \end{aligned}\]可以看到，即使在经过 \(m\ll M\) 的近似后，系统的总动能并不只是等于 \(m\) 的动能，其 \(M\) 的动能也占用了其中一部分，因此原题目中 B 的分析错误，实际的在 B 看来的能量变化比值为：
\[\frac{\Delta E_{1}}{\Delta E_{2}}=\frac{T_{1}-T_{0}}{T_{2}-T_{1}}=\frac{1}{3}\]和 A 分析的结果相同.
分析 2
我们还可以以另一种方式来分析上述问题. 摩擦力在通过汽车轮胎使汽车加速运动的同时，也在向后推动地面，而后者是有可能做功的，因此需要进行更详细地分析. 由于我们忽略摩擦带来的将能量转化为内能的过程，因此我们可以合理假设认为汽车的轮胎是纯滚动的，因此有如下示意图：
对于在地面系的 A 而言，由于轮胎是纯滚动的，轮胎的接触点相对地面是静止的，又因为 A 在地面系，因此轮胎的接触点在每一时刻相对 A 的速度均为 \(0\)，因此每一时刻摩擦力只对车做功，不对地面做功. 但在运动的观察者 B 看来，由于轮胎的接触点相对地面是静止的，但由于地面相对自己以速度 \(v_{0}\) 在运动，因此每一时刻地面上的摩擦力 \(f\) 对地做功的功率为 \(-fv_{0}\)，而题目中的 B 在计算时忽略了这部分的影响，从而导致错误. 若汽车本身是均匀加速的，则汽车在两个阶段的 \(t\) 时间内相对 B 的位移分别为 \(3v_{0}t/2\) 和 \(5v_{0}t/2\)，因此车轮上的摩擦力对车的做功分别为 \(3fv_{0}t/2\) 和 \(5fv_{0}t/2\). 地面上的摩擦力在 \(t\) 时间内对地面做功为 \(-fv_{0}t\). 因此，总功比值为：
\[\frac{\Delta E_{1}}{\Delta E_{2}}=\frac{\frac{3}{2}-1}{\frac{5}{2}-1}=\frac{1}{3}\]和 A 分析的结果相同.