普物小问题(02)：不同参考系下的能量变化问题

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Published: April 20, 2025

（原题出自《200 道物理学难题》Q51）

问题

如图所示，地面上 A 观察到有一辆车经历第一阶段从静止加速到 $v_{0}$ ，再经历第二阶段进一步加速到 $2 v_{0}$ ，并推测汽车从 $0$ 加速到 $v_{0}$ 所消耗的汽油是从 $v_{0}$ 加速到 $2 v_{0}$ 的 $1 / 3$ . 这里 A 假设汽油的化学能几乎全部转化为汽车的动能，即忽略了空气阻力以及其他各种摩擦力的影响，且忽略消耗汽油带来的汽车质量变化. 又因汽车动能随速度的平方成正比，因此得到汽车第一阶段消耗的汽油是第二阶段的 $1 / 3$ .

现在在旁边以汽车运动速度方向相反且相对地面运动速度为 $v_{0}$ 列车上有另一人 B 同样观察汽车加速的过程，B 认为汽车从 $v_{0}$ 加速到 $2 v_{0}$ 再加速到 $3 v_{0}$ ，从而类似 A 的计算，得到汽车第一阶段消耗的汽油是第二阶段的：

\frac{(2 v_{0})^{2} - v_{0}^{2}}{(3 v_{0})^{2} - (2 v_{0})^{2}} = \frac{3}{5}

倍，从而与 A 的结论矛盾. 那么，A 与 B 的结论谁对？如何解释这种情况？

解答

首先给出结论，A 的分析正确，B 的分析错误. 在上述问题中，汽车本身并不构成封闭系统，其会与周围环境相关联，在本题中，其关联的对象是地球. 因此，在分析能量时，我们还需要考虑对地球的影响，这也是导致 B 分析错误的原因. 具体而言，我们可以以两种方式进行分析和计算.

分析 1

在加速过程中，汽车必然反作用于地球，并导致地球的角速的及其微小的变化. 这个对地球而言及其微小的效应在计算能量时必须考虑，才能解释题目中的悖论.

简单而言，我们考虑如下模型：

考虑质量为 $m$ 的汽车，行驶在可自由移动，质量为 $M$ 的板上，且有 $m ≪ M$ . 对于一个静止的观察者 A，当 $m$ 从 $0$ 加速到 $v_{0}$ 时，根据动量守恒，有 $M$ 从 $0$ 加速到 $m v_{0} / M$ . 同理当 $m$ 从 $v_{0}$ 加速到 $2 v_{0}$ 时，有 $M$ 从 $m v_{0} / M$ 加速到 $2 m v_{0} / M$ .

因此第一阶段结束后，系统的总动能为：

T_{1} = \frac{1}{2} m (1 + \frac{m}{M}) v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} (m ≪ M)

同理，第二阶段系统的总动能为：

T_{2} = 2 m (1 + \frac{m}{M}) v_{0}^{2} = 2 m v_{0}^{2} (m ≪ M)

注意到由于 $m ≪ M$ ，因此得到 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 动能均为汽车的动能，大质量板 $M$ 的动能及其变化可忽略不计. 因而我们可以得到，两段加速过程中的能量变化比值为：

\frac{Δ E_{1}}{Δ E_{2}} = \frac{T_{1} - 0}{T_{2} - T_{1}} = \frac{1}{3}

对于以速度 $v_{0}$ 匀速运动的观察者而言情况则完全不同，在汽车没有加速时，系统的总动能为：

T_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} M v_{0}^{2}

当 $m$ 从 $v_{0}$ 加速到 $2 v_{0}$ 再到 $3 v_{0}$ 时，根据动量守恒，有 $M$ 从 $v_{0}$ 变到 $(1 - m / M) v_{0}$ 再到 $(1 - 2 m / M) v_{0}$ . 因此，整个过程中，第一阶段结束后和第二阶段结束后的系统总动能分别为：

\begin{aligned} T_{1} & = \frac{1}{2} m {(2 v_{0})}^{2} + \frac{1}{2} M {(1 - \frac{m}{M})}^{2} v_{0}^{2} \\ = m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} M v_{0}^{2} + \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} v_{0}^{2} \\ = m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} M v_{0}^{2} (m ≪ M) \end{aligned}

\begin{aligned} T_{2} & = \frac{1}{2} m {(3 v_{0})}^{2} + \frac{1}{2} M {(1 - \frac{2 m}{M})}^{2} v_{0}^{2} \\ = \frac{5}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} M v_{0}^{2} + 2 \frac{m^{2}}{M} v_{0}^{2} \\ = \frac{5}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} M v_{0}^{2} (m ≪ M) \end{aligned}

可以看到，即使在经过 $m ≪ M$ 的近似后，系统的总动能并不只是等于 $m$ 的动能，其 $M$ 的动能也占用了其中一部分，因此原题目中 B 的分析错误，实际的在 B 看来的能量变化比值为：

\frac{Δ E_{1}}{Δ E_{2}} = \frac{T_{1} - T_{0}}{T_{2} - T_{1}} = \frac{1}{3}

和 A 分析的结果相同.

分析 2

我们还可以以另一种方式来分析上述问题. 摩擦力在通过汽车轮胎使汽车加速运动的同时，也在向后推动地面，而后者是有可能做功的，因此需要进行更详细地分析. 由于我们忽略摩擦带来的将能量转化为内能的过程，因此我们可以合理假设认为汽车的轮胎是纯滚动的，因此有如下示意图：

对于在地面系的 A 而言，由于轮胎是纯滚动的，轮胎的接触点相对地面是静止的，又因为 A 在地面系，因此轮胎的接触点在每一时刻相对 A 的速度均为 $0$ ，因此每一时刻摩擦力只对车做功，不对地面做功. 但在运动的观察者 B 看来，由于轮胎的接触点相对地面是静止的，但由于地面相对自己以速度 $v_{0}$ 在运动，因此每一时刻地面上的摩擦力 $f$ 对地做功的功率为 $- f v_{0}$ ，而题目中的 B 在计算时忽略了这部分的影响，从而导致错误. 若汽车本身是均匀加速的，则汽车在两个阶段的 $t$ 时间内相对 B 的位移分别为 $3 v_{0} t / 2$ 和 $5 v_{0} t / 2$ ，因此车轮上的摩擦力对车的做功分别为 $3 f v_{0} t / 2$ 和 $5 f v_{0} t / 2$ . 地面上的摩擦力在 $t$ 时间内对地面做功为 $- f v_{0} t$ . 因此，总功比值为：

\frac{Δ E_{1}}{Δ E_{2}} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{5}{2} - 1} = \frac{1}{3}

和 A 分析的结果相同.

Guotao He

普物小问题(02)：不同参考系下的能量变化问题

问题

解答

分析 1

分析 2

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