齐次微分方程解法
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本文给出常见的齐次微分的解法，并给出其推广形式.
齐次函数与齐次方程
在介绍常见的齐次微分方程的解法之前，我们先定义什么是“齐次”.
\(\mathbf{Definition}:\) 我们称函数 \(f(x,y)\) 为 \(n\) 次齐次函数，如果： \(f(\lambda x,\lambda y) = \lambda^n f(x,y), \lambda \in \mathbb{R}\)
同时，我们称方程 \(P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0\) 为 \(n\) 次齐次方程，如果 \(P(x,y),Q(x,y)\) 均为 \(n\) 齐次函数.
对于一个 \(n\) 次齐次方程，我们也可以写为：
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\]且分子分母的每一项的变量的次数和相等，这即是常见的齐次函数的形式.
对于齐次方程，我们可以简单地令 \(y=u(x)x\)，此时根据齐次函数的定义，有：
\[P(x,ux) = x^n P(1,u)\]这里同样可以令 \(x=u(y)y\)，视何种情况更方便求解而定.
同时，有 \(\mathrm{d}y=x\mathrm{d}u+u\mathrm{d}x\)，因此原方程可以化为：
\[x^n P(1,u) \mathrm{d} x + x^n Q(1,u) (x \mathrm{d}u + u\mathrm{d}x) = 0\]即：
\[\frac{Q(1,u)}{P(1,u)+u Q(1,u)} \mathrm{d} u = - \frac{\mathrm{d}x}{x}\]上述方程两端积分，便可以得到原方程的解. 注意，我们还需要验证：
\[x^{n+1} (P(1,u)+uQ(1,u)) =0\]对应的根是否为原方程的解（显然 \(x=0\) 是上面方程的一个特解，但未必是原始的微分方程的解，这是因为变换 \(y=ux\) 在 \(x=0\) 时是不可逆的）.
易知方程为齐次方程的一个等价定义是其可以化为如下形式：
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \Phi\left(\frac{y}{x}\right)\]
可通过平移化成齐次方程的形式
对于下面一类方程：
\[\begin{equation} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f\left(\frac{ax+by+c}{mx+ny+l}\right) \end{equation}\]其中 \(a,b,c,m,n,l\) 均为常量. 显然此方程不是标准的齐次方程，但是可以通过简单的平移转化为齐次方程或变成可以分离变量的形式.
当 \(c=l=0\) 时，式 \((1)\) 为齐次方程的形式，在此不做讨论. 当 \(c,l\) 不全为 \(0\) 时，我们容易想到尝试通过变量替换将其变成齐次方程的形式，因此我们假设：
\[x=u+x_0, \quad y=v+y_0\]其中 \(x_0,y_0\) 为待定常量. 则有：
\(ax+by+c = (au+bv)+(a x_0 + b y_0 + c)\) \(mx+ny+l = (mu+nv)+(m x_0 + n y_0 + l)\)
要使得其能变成齐次方程的形式，则 \(x_0,y_0\) 需要满足如下方程组：
\[\begin{equation} \begin{cases} a x_0 + b y_0 + c = 0 \\ m x_0 + n y_0 + l = 0 \end{cases} \end{equation}\]根据式 \((2)\) 系数的不同情况，可以分成如下三类：
有无穷多解
当式 \((2)\) 有无穷多解时，系数满足：
\[\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = \frac{c}{l} = k, k \in \mathbb{R}\]因此式 \((1)\) 变为：
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(k)\]此情况非常 Trivial，在此不做过多说明.
有唯一解
当式 \((2)\) 有唯一解时，系数行列式 \(\Delta = an-bm \neq 0\)，此时能唯一地解出 \(x_0,y_0\)，因此可以通过变量替换：
\[x=u+x_0, \quad y=v+y_0\]将式 \((1)\) 变成齐次方程的形式.
无解
当式 \((2)\) 无解时，系数行列式 \(\Delta = an-bm = 0\)，此时有:
\[\frac{a}{m} = \frac{b}{n} = k, k \in \mathbb{R}\]因此可以做换元 \(u = mx+ny\)，此时 \(\mathrm{d}u = m \mathrm{d}x + n \mathrm{d}y\)，因此式 \((1)\) 可以化为：
\[\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = n f \left( \frac{ku+c}{u+l} \right) + m\]显然，上式很容易通过分离变量进行求解.
拟齐次函数和拟齐次方程
拟齐次函数是齐次函数的“扩展”：
\(\mathbf{Definition}:\) 我们称函数 \(f(x,y)\) 为 \(d\) 次拟齐次函数（Quasihomdgeneous Function）,如果：
\[f(t^{\alpha s}x,t^{\beta s}y) = t^{ds} f(x,y), s \in \mathbb{R}\]其中 \(\alpha+\beta=1\)，\(\alpha\) 为 \(x\) 的权，\(\beta\) 为 \(y\) 的权.
同时，我们称方程 \(P(x,y) \mathrm{d}x + Q(x,y) \mathrm{d}y = 0\) 为拟齐次方程，若 \(P(x,y)\) 为 \(d_x\) 次拟齐次函数，\(Q(x,y)\) 为 \(d_y\) 次拟齐次函数，且 \(x\) 在 \(P(x,y),Q(x,y)\) 的权相同（记为 \(\alpha\)），\(y\) 在 \(P(x,y),Q(x,y)\) 的权相同（记为 \(\beta\)）.
\(\mathbf{Theorem}:\) 若拟齐次方程满足：\(d_x+\alpha = d_y+\beta\)，则方程可以化成分离变量的形式.
\(\mathbf{Proof}:\) 我们做换元 \(y=ux^{\frac{\beta}{\alpha}}\)，带入 \(P,Q\)，有：
当然，做换元 \(x=uy^{\frac{\alpha}{\beta}}\) 也是可以的.
\(P(x,ux^{\frac{\beta}{\alpha}}) = x^{\frac{d_x}{\alpha}} P(1,u)\) \(Q(x,ux^{\frac{\beta}{\alpha}}) = x^{\frac{d_y}{\alpha}} Q(1,u)\)
且有：
\[\mathrm{d}y = x^{\frac{\beta}{\alpha}} \mathrm{d}u + \frac{\beta}{\alpha} u x^{\frac{\beta-\alpha}{\alpha}} \mathrm{d}x\]因此，原方程可以化为:
\[x^{\frac{d_x}{\alpha}} P(1,u) \mathrm{d}x + x^{\frac{d_y+\beta}{\alpha}} Q(1,u) \mathrm{d} u + \frac{\beta}{\alpha} u x^{\frac{\beta-\alpha+d_y}{\alpha}} Q(1,u) \mathrm{d}x = 0\]注意到 \(d_x = \beta - \alpha + d_y\)，因此，上式也可以化为：
\[\left( 1+\frac{\beta}{\alpha} u \right) \left[ P(1,u) + Q(1,u) \right] x^{\frac{d_x}{\alpha}} \mathrm{d}x + x^{\frac{d_y+\beta}{\alpha}} Q(1,u) \mathrm{d} u = 0\]显然，上式可以通过分离变量进行求解.