微分形式笔记
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（全文如无特殊说明，均使用 Einstein 求和约定，且拉丁字母（\(i,j,\dots\)）指标从 \(1\) 到 \(3\)，希腊字母（\(\mu,\nu\text{，}\dots\)）指标从 \(0\) 到 \(4\).）
外微分
对于任意可微的微分流形 \(M\)，存在一个的映射 \(\mathrm{d}\)，称为外微分，其定义为：
\(\mathbf{Definition}:\) (外微分). 外微分算子 \(\mathrm{d}\) 是一个从 \(k\)-形式到 \(\left(k+1\right)\)-形式的映射，即：
\[\mathrm{d}:\Omega^{k}\left(M\right)\to\Omega^{k+1}\left(M\right)\]满足如下性质：
若 \(f\in\Omega^{0}\left(M\right)\)，则 \(\mathrm{d}f\) 就是普通的微分.
\(\mathrm{d}\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right)=\mathrm{d}\omega_{1}+\mathrm{d}\omega_{2}\).
\(\mathrm{d}\left(\omega_{1}\wedge\omega_{2}\right)=\mathrm{d}\omega_{1}\wedge\omega_{2}+\left(-1\right)^{p}\omega_{1}\wedge\mathrm{d}\omega_{2},\omega_{1}\in\Omega^{p}\left(M\right),\omega_{2}\in\Omega^{q}\left(M\right)\).
\(\mathrm{d}\circ\mathrm{d}=\mathrm{d}^{2}=0\).
对于一个一般的 \(k\)-形式 \(\omega\in\Omega^{k}\left(M\right)\)，有（指标 \(i_{k}\) 从 \(1\) 到 \(n\)，\(n=\dim M\)）：
\[\begin{aligned} \mathrm{d}\omega & =\mathrm{d}\left(a_{i_{1}\dots i_{k}}\mathrm{d}x^{i_{1}}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^{i_{k}}\right)\\ & =\mathrm{d}a_{i_{1}\dots i_{k}}\wedge\mathrm{d}x^{i_{1}}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^{i_{k}}\\ & =\partial_{j}a_{i_{1}\dots i_{k}}\mathrm{d}x^{j}\wedge\dots\mathrm{\wedge}\mathrm{d}x^{i_{k}} \end{aligned}\]综上，我们知道，外微分运算是一种”升维”微分，微分形式经过一次外微分运算，其次数升高一次.
Hodge 星算子
\(\mathbf{Definition}:\) (Hodge 星算子). Hodge 星算子（\(\star\)）是一种从 \(k\)-形式到 \(\left(n-k\right)\)-形式的映射（同前文，\(n=\dim M\)，下同），即：
\[\star:\Omega^{k}\left(M\right)\to\Omega^{n-k}\left(M\right)\]并定义对于 \(k\)-形式（指标 \(i_{k}\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
\[\omega=a_{i_{1}\dots i_{k}}\mathrm{d}x^{i_{1}}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^{i_{k}}\]其作用于 Hodge 星算子有：
\[\star\omega=\star a_{j_{1}\dots j_{n-k}}\mathrm{d}x^{j_{1}}\wedge\dots\wedge\mathrm{d}x^{j_{n-k}}\]其中：
\[\star a_{j_{1}\dots j_{n-k}}=\epsilon_{i_{1}\dots,i_{k},j_{1}\dots j_{n-k}}a^{j_{1}\dots j_{k}}\]\(a^{j_{1}\dots j_{k}}\) 的升降指标通过度规实现.
这里我们称 \(\star\omega\) 为 \(\omega\) 的对偶形式，相应的 Hodge 星算子运算因此也是一种对偶运算. 对于一个 \(k\)-形式，进行两次 Hodge 星算子运算，得到：
\[\star\star\omega=\left(-1\right)^{p\left(n-p\right)}\omega\]Hodge 星算子计算比较麻烦，下面给出常见空间的 Hodge 星算子计算：
二维欧式空间
\(\star e_{x}=e_{u}\).
\(\star e_{y}=-e_{x}\).
三维欧式空间
\(\star1=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\).
\(\star\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\).
\(\star\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x\).
\(\star\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\).
四维 Minkowski 时空
（取通常参考系 \(\left(t,x,y,z\right)\)，且度规为 \(g_{\mu\nu}=\text{diag}\left(-1,1,1,1\right)\)，选取不同的号差结果会有些不同）
\(\star\mathrm{d}t=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\).
\(\star\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z\).
\(\star\mathrm{d}y=-\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}z\).
\(\star\mathrm{d}z=\mathrm{d}t\wedge\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\).
余微分
利用外微分和 Hodge 星算子可以定义从 \(k\)-形式到 \(\left(k-1\right)\)-形式的运算算子，记为 \(\delta\)，称为余微分算子.
\(\mathbf{Definition}:\) (余微分). 余微分算子是一个从 \(k\)-形式到 \(\left(k-1\right)\)-形式的运算算子，即：
\[\delta:\Omega^{k}\left(M\right)\to\Omega^{k-1}\left(M\right)\]其定义为：
\[\delta=\left(-1\right)^{n\left(k+1\right)+1}\star\mathrm{d}\star\]且定义：
\[\delta f=0\quad\left(f\in\Omega^{0}\left(M\right)\right)\]其链式运算过程如下所示：
\[\Omega^{k}\left(M\right)\xrightarrow{\star}\Omega^{n-k}\left(M\right)\xrightarrow{\mathrm{d}}\Omega^{n-k+1}\left(M\right)\xrightarrow{\star}\Omega^{k-1}\left(M\right)\]同样地，余微分同样有如下性质：
\[\delta\circ\delta=\delta^{2}=0\]综上，我们知道，余微分运算是一种”降维”微分，微分形式经过一次余微分运算，其次数降低一次.
Laplace - de Rham 算子
借助外微分和余微分可以定义从 \(k\)-形式到 \(k\)-形式的运算算子，记为 \(\Delta\)，称为 Laplace - de Rham 算子.
\(\mathbf{Definition}:\) (Laplace - de Rham 算子). Laplace - de Rham 算子是一个从 \(k\)-形式到 \(k\)-形式的运算算子，即：
\[\Delta:\Omega^{k}\to\Omega^{k}\]其定义为：
\[\Delta=\left(\mathrm{d}+\delta\right)^{2}=\mathrm{d}\delta+\delta d\]综上，我们知道，Laplace - de Rham 运算是一种”保维”微分，微分形式经过一次运算，其次数保持不变.
总结
二维欧式空间
（这里指标 \(i,j,k\) 遍历 \(1\) 和 \(2\)）
\(f\in\Omega^{0}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\quad\mathrm{d}f=\nabla f\quad\delta f=0\).
\(v=v_{i}\mathrm{d}x^{i}\in\Omega^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\quad\mathrm{d}v=\nabla\times v\quad\mathrm{\delta v=\nabla\cdot v}\).
\(g=g\mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}\in\Omega^{2}\left(\mathrm{\mathbb{R}^{2}}\right)\quad\mathrm{d}g=0\quad\mathrm{\delta g=\star\nabla\left(\star g\right)}\).
三维欧式空间
\(f\in\Omega^{0}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\quad\mathrm{d}f=\nabla f\quad\delta f=0\quad\Delta f=-\nabla^{2}f\).
\(v=v_{i}\mathrm{d}x^{i}\in\Omega^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\quad\mathrm{d}v=\nabla\times v\quad\mathrm{\delta v=\nabla\cdot v}\).
\(h=h_{ij}\mathrm{d}x^{i}\wedge\mathrm{d}x^{j}\in\Omega^{2}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\quad\mathrm{d}h=\star\nabla\cdot\left(\star h\right)\quad\delta h=\star\nabla\times\left(\star h\right)\).
\(g=g\mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}\in\Omega^{3}\left(\mathrm{\mathbb{R}^{3}}\right)\quad\mathrm{d}g=0\quad\mathrm{\delta g=\star\nabla\left(\star g\right)}\).