广义 Taylor 展开
Published:
本文章介绍一种 Taylor 展开的推广
定义
考虑一个无穷维的线性空间 \(X\)，在其中存在线性算子 \(\mathcal{D}\) 和投影算子 \(\omega\)，其中线性算子 \(\mathcal{D}\) 满足
\[\dim\ker\mathcal{D}\geq1\]换句话说也就是线性算子 \(\mathcal{D}\) 不是单射. 同时，我们要求投影算子 \(\omega\) 的像集为：
\[\omega\left(X\right)=\ker\mathrm{\mathcal{D}}\]也就是其将 \(X\) 的任意元素投影到 \(\ker\mathcal{D}\) 中. 因此，我们可以构造一个右逆算子 \(\mathcal{D}^{-1}\)，使得：
\[\mathcal{D}^{-1}f=g\in X,\ f\in\ker\mathcal{D}\]同时 \(\mathcal{\mathcal{D}}^{-1}\) 还满足：
\[\mathcal{D}g=f,\quad\omega\left(\mathcal{D}^{-1}f\right)=0\]上述两个条件保证了 \(\mathcal{D}^{-1}\) 的输出是唯一的.
因此，对于线性空间 \(X\) 中的任意一个 \(f\)，我们可以定义如下的广义 Taylor 展开：
\[f=\sum_{n=0}^{\infty}\mathcal{D}^{-n}\circ\omega\circ\mathcal{D}^{n}f\]当然，展开需要级数是收敛的性质，这个性质不是无条件保证的，这取决于线性空间 \(X\) 的拓扑性质以及算子 \(\mathcal{D}\) 和 \(\omega\) 的度量性质1.
证明
我们先证明两个引理：
\(\mathbf{Lemma 1}:\) \(\forall f\in X\)，使得 \(\omega\left(f\right)=0\)，则有：\(f=\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}f\right)\)
\(\mathbf{Proof}.\) 记 \(g=\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}f\right)\)，因此原命题等价于 \(g=f\).
两边作用 \(\mathcal{D}\)，有：
\[\mathcal{D}g=\mathcal{D}\circ\mathcal{D}^{-1}\circ\mathcal{D}f=\mathcal{D}f\]两边作用 \(\omega\)，有：
\[\omega\left(g\right)=\omega\circ\mathcal{D}^{-1}\circ\mathcal{D}f\]由于 \(\mathcal{D}^{-1}\) 的输出经过 \(\omega\) 后恒为 \(0\)，因此：
\[\omega\left(g\right)=0=\omega\left(f\right)\]由于 \(\mathcal{D}g=\mathcal{D}f\)，由线性：
\[\mathcal{D}\left(g-f\right)=0\]也就是 \(\left(g-f\right)\in\ker\mathcal{D}\)，因此：
\[g-f=\omega\left(g-f\right)\]又因为投影算子的线性：
\[\omega\left(g-f\right)=\omega\left(g\right)-\omega\left(f\right)=0\]综上 \(g=f\). ◻
\(\mathbf{Lemma 2}:\) \(\forall f\in X\)，有：\(f=\omega\left(f\right)+\mathrm{\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}f\right)}\)
\(\mathbf{Proof}.\) 不难注意到，\(\forall f\in X\)，总有：
\[f=\omega\left(f\right)+\left(f-\omega\left(f\right)\right)\]因此，原命题等价于：
\[f-\omega\left(f\right)=\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}f\right)\]令 \(g=f-\omega\left(f\right)\)，因此：
\[\begin{aligned} \omega\left(g\right) & =\omega\left(f-\omega\left(f\right)\right)\\ & =\omega\left(f\right)-\omega\left(\omega\left(f\right)\right)\\ & =\omega\left(f\right)-\omega\left(f\right)\\ & =0 \end{aligned}\]这里利用了投影算子 \(\omega\) 的线性和投影性质. 投影算子总有 \(\omega\left(\omega\left(f\right)\right)=\omega\left(f\right)\)，\(\omega\) 是一个向 \(\ker\mathcal{D}\) 的投影，这意味着对于任何一个已经在 \(\ker\mathcal{D}\) 中的元素，\(\omega\) 不会改变它.
由于 \(\omega\left(g\right)=0\)，现在我们利用 Lemma 1，有：
\[g=\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}g\right)\]因此：
\[\begin{aligned} f-\omega\left(f\right) & =\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}\left(f-\omega\left(f\right)\right)\right)\\ & =\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}f-\mathcal{D}\left(\omega\left(f\right)\right)\right) \end{aligned}\]由于 \(\omega\left(f\right)\in\ker\mathcal{D}\)，因此 \(\mathcal{D}\left(\omega\left(f\right)\right)=0\)，故：
\[f-\omega\left(f\right)=\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}f\right)\]综上，原引理成立. ◻
引入 Lemma 2 后，现在我们证明广义 Taylor 展开. 根据 Lemma 2，\(\forall f\in X\)，有：
\[f=\omega\left(f\right)+\mathcal{D}^{-1}\left(\mathcal{D}f\right)\]将上式的 \(f\) 替换为 \(\mathcal{D}f\)，有：
\[\mathcal{D}f=\omega\circ\mathcal{D}f+\mathcal{D}^{-1}\circ\mathcal{D}^{2}f\]再将上式替换前面式子中的 \(\mathcal{D}f\).
\[\begin{aligned} f & =\omega\left(f\right)+\mathcal{D}^{-1}\left(\omega\circ\mathcal{D}f+\mathcal{D}^{-1}\circ\mathcal{D}^{2}f\right)\\ & =\omega\left(f\right)+\mathcal{D}^{-1}\circ\omega\circ\mathcal{D}f+\mathcal{D}^{-2}\circ\mathcal{D}^{2}f \end{aligned}\]整个过程迭代 \(n\) 次，我们可以得到：
\[f=\sum_{k=0}^{n}\mathcal{D}^{-n}\circ\omega\circ\mathcal{D}f+\mathcal{D}^{-\left(n+1\right)}\circ\mathcal{D}^{n+1}f\]\(n\to\infty\)，且余项 \(\mathcal{D}^{-\left(n+1\right)}\circ\mathcal{D}^{n+1}f\) 收敛到零元素，则有：
\[f=\sum_{n=0}^{\infty}\mathcal{D}^{-n}\circ\omega\circ\mathcal{D}^{n}f\]广义 Taylor 展开之所以有效是因为对于空间 \(X\) 中的任意元素 \(f\)，我们总是能将其分解成两部分，一部分在 \(\ker\mathcal{D}\) 中，另一部分在它的补空间中. 补空间进一步进行类似的分解，此过程迭代进行下去，我们就得到了广义的 Taylor 展开.
应用
Taylor 展开
常见的 Taylor 展开是广义 Taylor 展开的一种特殊情况. 只需要取：
\(X:C^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)\).
\(\mathcal{D}:\mathrm{d}/\mathrm{d}x\)（一阶微分算子）
\(\ker\mathcal{D}:\)所有常数函数
\(\omega\left(f\right):\) 函数 \(f\) 在某一点 \(x_{0}\) 的取值
我们很容易构造算符 \(\mathcal{D}^{-1}\)：
\[\mathcal{D}^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=\int_{x_{0}}^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t\]现在我们来计算展开的各项：
\(n=0\)：
\[\mathcal{D}^{-0}\circ\omega\circ\mathcal{D}^{0}f=\omega\left(f\right)=f\left(x_{0}\right)\]\(n=1\)：
\[\mathcal{D}^{-1}\circ\omega\circ\mathcal{D}f=\mathcal{D}^{-1}\circ\omega f'=\mathcal{D}^{-1}f'\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\]\(n=2\)：
\[\mathcal{D}^{-2}\circ\omega\circ\mathcal{D}^{2}f=\mathcal{D}^{-2}\circ\omega f''=\mathcal{D}^{-2}f''\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}f''\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}\]
以此类推，有：
\[\mathcal{D}^{-n}\circ\omega\circ\mathcal{D}^{n}f=\frac{1}{n!}f^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}\]综上：
\[f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{k}\]也就是我们所熟悉的 Taylor 展开.
Almansi 分解
Almansi 分解将一个普通的函数分解为一系列”越来越不平滑”的调和函数的和. 取：
\(X:C^{\infty}\left(\Omega\right)\).
\(\mathcal{D}:\nabla^{2}\)（Laplace 算子）
\(\ker\mathcal{D}:\Omega\) 上的调和函数（\(\nabla^{2}h=0\)）的集合
\(\omega\left(f\right):h=\omega\left(f\right)\)，其中 \(h\) 是一个调和函数，同时和原函数 \(f\) 具有相同的边界条件
我们不难构造得到算子 \(\mathcal{D}^{-1}\left(f\right)\) 得到 Poisson 方程 \(\nabla^{2}h=f\) 的一个特解 \(h\)，同时满足齐次边界条件（此时这里的 \(\mathcal{D}^{-1}\) 通常被称为 Green 算子）.
令 \(h_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)=\omega\left(\mathcal{D}^{k}f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)=\omega\left(\nabla^{2k}f\right)\)，因此 \(h_{k}\) 是与 \(\nabla^{2k}f\) 具有相同边界条件的调和函数.
令 \(f_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)=\mathcal{D}^{-k}\left(h_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\). 则：
\[\nabla^{2k}f_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)=\mathcal{D}^{k}\circ\mathcal{D}^{-k}\left(h_{k}\right)=h_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\]因此：
\[\nabla^{2\left(k+1\right)}f_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)=\nabla^{2}h_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)=0\]因此，\(f_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\) 是 \(\left(k+1\right)\) 调和函数.
由广义 Taylor 展开，有：
\[f\left(\boldsymbol{x}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}f_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\]其中 \(f_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\) 是 \(\left(k+1\right)\) 调和函数，满足 \(\nabla^{2k}f_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)=h_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\) 同时满足齐次边界条件，而 \(h_{k}\left(\boldsymbol{x}\right)\) 是调和函数同时和 \(f\) 相同的边界条件. 也就是我们将一个任意的标量函数展开成 \(k\) 调和函数的和. 上述展开就是 Almansi 分解.
按旋度算子的 Taylor 展开
（这里我并不清除这个展开有什么实际的作用，也不知是否有正式名称 QAQ）
我们取：
\(X:\Omega\in\mathbb{R}^{3}\) 上的光滑向量场的集合
\(\mathcal{D}:\nabla\times\)（旋度算子）
\(\ker\mathcal{D}:\Omega\) 上所有无旋场的集合
\(\omega\left(u\right):\) Helmholtz 分解中的无旋的部分（一般要求其满足 Neumann 边界条件）
现在我们来构造算符 \(\mathcal{D}^{-1}\)，不难得到 \(\mathcal{D}^{-1}\left(\boldsymbol{v}\right)\) 就是求解方程 \(\nabla\times\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}\)，也就是寻找向量场 \(\boldsymbol{v}\) 的向量势 \(\boldsymbol{u}\). 为了唯一确定向量势，我们还需要一个规范条件，由 \(\omega\left(\mathcal{D}^{-1}\left(\boldsymbol{v}\right)\right)=0\)，得到 \(\mathcal{D}^{-1}\) 的像空间与无旋场空间”正交”，因此一个常见的选择是 \(\mathcal{D}^{-1}\left(\boldsymbol{v}\right)\) 是无散的，即选取库伦规范，\(\nabla\cdot\boldsymbol{u}=0\).
由广义 Taylor 展开，我们得到向量场 \(\boldsymbol{u}\) 的展开：
\[\boldsymbol{u}=\sum_{k=0}^{\infty}\mathcal{D}^{-k}\left(\nabla\phi_{k}\right)\]其中 \(\nabla\phi_{k}\) 是 2\(\left(\nabla\times\right)^{k}\boldsymbol{u}\) 经 Helmholtz 分解后的无旋部分. 上述看起来非常抽象，实际上也确实非常抽象，现在我们尝试解释其物理内涵.
我们来看除了第一项（第一项是一个简单的无旋场）外的其他项 \(\boldsymbol{u}_{k}\)，由于其满足 \(\nabla\times\boldsymbol{u}_{k}=\nabla\phi_{k}\)，因此总有：
\[\nabla\times\left(\nabla\times\boldsymbol{u}_{k}\right)=\nabla\times\left(\nabla\phi_{k}\right)=0\]也就是 \(\boldsymbol{u}_{k}\) 是无力场（Force-Free Field）. 也就是我们将任意一个向量场展开成一个无旋场和一系列具有特定漩涡结构的，逐渐复杂的无力场的和.