一种三重叉积的证明

本文介绍一种较为巧妙的三重叉积的证明方法.

\(\mathbf{Theorem}:\) \((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{a}\)

\(\mathbf{Proof}:\) \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 垂直于 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 张成的平面，我们记此平面的法向量为 \(\mathbf{n}\).

\((\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \times \mathbf{c}\) 垂直于 \(\mathbf{n}\) 和 \(\mathbf{c}\) 张成的平面，也因此平行于 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 张成的平面，因此可以用 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的线性表示.

设：

其中 \(m,n \in \mathbb{R}\) 为待定常数. 下面我们确定 \(m\) 和 \(n\) 的值.

用 \(\mathbf{c}\) 点乘左右两边，有：

由于有如下式子恒成立：

因此，\(\exists p \in \mathbb{R}\) 且 \(p \neq 0\)，使得：

带入式 \((1)\)，有：

这里 \(p\) 与 \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) 无关. 这是因为线性性，比如如果：

根据叉乘的线性性，有：

因此 \(p_1 \mathbf{b}_1 + p_2 \mathbf{b}_2\) 与 \(\mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\) 共线. 由于 \(\mathbf{b}_1\) 与 \(\mathbf{b}_2\) 是任意的，故一定有 \(p_1 = p_2\).

由于 \(p\) 与 \(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\) 无关，因此可以通过取特殊值来计算出 \(p\)，比如，我们取相互正交的 \(\mathbf{a},\mathbf{b}\)，因此：

因此 \(p=-1\). 带入式 \((2)\)，即得原命题. \(\square\)